幂级数

\[\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n, 1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\cdots\]

  • 幂级数就是函数的一种表示方法.
  • 可以用四则运算, 逐项积分, 逐项求导等求和函数.
  • 用间接法计算展开式.

1 幂级数是什么?

  • 用特殊方法表示的函数, 比如 \[ \sin x=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{(2n-1)!}x^{2n-1}+\cdots. \]

  • 这种表示方法有很大的好处. 比如计算近似值, 求导等等.

  • 就是函数的定义域.

  • 确定收敛域的步骤: 先确定收敛半径, 再确定端点是否收敛.

  • 方法如同比值, 根值判别法.

2 幂级数的和函数

  • 把未知的幂级数加加减减, 微分, 积分变成已知的, 再求过来.

3 幂级数的展开

  • 加减, 微分积分随你折腾.

  • 盯紧目标.

4 幂级数的局限性

一个函数\(f(x)\)如果能展开成幂级数 \[ f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n \] 则由逐项求导可得在收敛域内, \(f(x)\)有任意阶导数. 但是对于一般的函数 来说,这个要求有点苛刻.