傅里叶级数

\[f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos x+b_n\sin x)\]

  • 如何求傅里叶级数.
  • 狄利克雷收敛定理.

1 傅里叶级数是什么?

  • 用特殊方法表示的函数, 比如 \[ \sin x=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{(2n-1)!}x^{2n-1}+\cdots. \]

  • 这种表示方法有很大的好处. 比如研究周期函数等等.

2 傅里叶级数中的主要问题

\[ f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos x+b_n\sin x). \] 则有

\[ a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nxdx;\ \ \ b_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nxdx. \] 特别要注意的是有时系数\({a_0}\)要单独求.

  • 狄利克雷的收敛定理说了傅里叶级数几乎处处收敛于函数—相等, 不相等时也会等于 平均值.

3 求傅里叶级数的其它问题

  1. 直接告诉函数是定义在\((-\infty,+\infty)\)上, 周期为\(2\pi.\) 直接求系数, 确定何时相等即可.

  2. 函数是定义在\((-\pi,\pi)\)上, 这时先作周期延拓(\(2\pi\)为周期)变成第一种类型.

  3. 函数是定义在\((0,\pi)\)上, 只在半个周期上定义, 先在另一半\((-\pi,0)\)上定义, 有两种方法定义, 一是按偶函数定义, 一是按奇函数定义. 再周期延拓.

  4. 周期是\(2l\), 则变量代换, 也是变成第一种类型.