常数项级数

\[\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n, 1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\cdots\]

  • 级数是表示数或函数的一种方法.
  • 要先看看是否收敛.
  • 正项级数审敛法.

1 级数是什么?

  • 如果是无限多的数加起来就是数项级数, 如 \[ e=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\cdots. \]

  • 如果是函数加起来就是函数项级数. 如 \[ \sin x=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{(2n-1)!}x^{2n-1}+\cdots. \]

  • 因为有限多的东西加起来不够用了.比如 \[ e=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\cdots. \]

  • 等式的左边是自然对数的底\(e,\) 要想估计一下大概有多少, 用右边的表达式就比较方便. 取前3项得\(e>2.5.\)

  • 但是注意右边不管\(n\)多大,前\(n\)项加起来都不等于\(e\), 都是近似值. 虽然误差是越来越小, 但再小也是有误差的.

  • 所以你想用简单的有理数加起来得到无理数\(e\)的准确值,就必须 把无限多的有理数加起来才行.

  • 比如幂级数 \[ e^x=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{4!}x^4+\cdots+\frac{1}{n!}x^n+\cdots. \] 用简单的幂函数\(x^n\)来表示指数函数, 函数简单了, 但 不能是几个简单函数相加, 而是无限多的东西相加. 但是右边每个幂函数都好处理,比如求导,积分,代入求值.

2 无限个数怎么加起来?

  • 给了一个级数, 首先得看看这个级数有没有意义? 如果存在了, 再研究它表示什么.

  • 数项级数总是用来表示一个确定的数的. 能表示就有意义, 不能 表示就没意义. 比如级数 \[ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n}+\cdots. \] 要讨论它能否表示一个确定数, 我们不能一下子把无穷多加起来, 就要回到有限多.

  • \[ s_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n}. \] 然后再让\(n\)趋向无穷. 得到 \[ \lim_{n\rightarrow +\infty }s_n=+\infty. \]

  • 这个加起来不是确定的数, 所以这个级数没有意义, 或者说级数发散. 反之有意义的级数称为收敛级数.

  • 第一步就是判断级数的敛散性.

3 级数收敛的必要条件

  • 为了筛选出收敛级数, 所以要有快速的鉴别方法. \[ \mbox{如果}\quad \lim_{n\rightarrow +\infty }u_n\neq 0. \quad \mbox{则级数发散.} \]

4 级数的性质

  • 如果级数\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n,\sum_{n=1}^{\infty}v_n,\)收敛, 可以得到:

  1. \(\sum_{n=1}^{\infty}ku_n\)也收敛.

  2. \(\sum_{n=1}^{\infty}u_n+v_n\)也收敛.

  3. 改变有限项, 级数还是收敛的.

  • 请注意一些结论的逆否命题的说法.

5 常用级数

  • 几何级数和\(p\)-级数比较简单.

6 正项级数

  • 正项级数的每一项非负, 就导致了部分和数列\(\{s_n\}\)单调递增.

  • 所以有: 定理 正项级数收敛当且仅当它的部分和数列有上界.

  • 判断正项级数的敛散性就是适当的把一般项放大或缩小, 从而确定有界还是无界.

7 正项级数的比较判别

  • 如果恰好找到一个收敛级数,每一项都比收敛级数小, 那这个 级数也收敛.

  • 放缩法是很高超的艺术, 放的太大,太小都可能不理想.

  • 比较判别法的最高境界是它的极限形式: \[ \lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{u_n}{v_n}=k. \] 则可根据\(k\)的情况判定级数的敛散性.

  • 极限的形式的好处在于把一些微不足道的细节忽略了, 只看起决定作用的东西.

  • 所谓的放, 不过是把不等式写成一些无穷小的组合, 然后去掉或加上一些高阶的无穷小.

  • 记住下面的大小关系, 对于比较还是非常有用的.

\[ \lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{\ln n}{n^k}= \lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{n^k}{a^n}= \lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{a^n}{n!}= \lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{n!}{n^n}=0, \ k>0, a>1. \]

  • 最后阶乘的也有近似公式: \[ \lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{ n!}{\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n}=1. \]

8 正项级数的比值、根值判别法

  • 比值、根值判别法只需 求求后项比前项的极限, 或通项的开\(n\)次方的极限. 根据结果直接得到答案.

  • 不用和其它级数比较.

9 交错级是什么?

莱布尼兹判别法.

10 绝对收敛与条件收敛

  • 加绝对值收敛则一定收敛.