三重积分

\[\iiint_\limits D f(x,y)dxdy\]

  • 例子: 空间立体的质量.
  • 计算: 按照固定步骤化为累次积分.
  • 难点: 如何选择: 投影法, 截面法, 柱面坐标系还是球面坐标系进行计算.

1 三重积分是什么

  • 我们用微元法解释三重积分是什么, 记住一个实例, 空间立体的质量.

  • 假设空间区域\(\Omega\), 其密度是\(f(x,y,z)\), 则质量\(M\)可以这样得到.

2 三重积分的计算

  • 化为累次积分: 计算三次定积分.

  • 根据被积函数和区域, 需要选择合适的坐标平面投影
  • 有时需要把区域分成几个部分, 分别计算.

\[ \iint\limits_{{D_z}} f(z)d xd y =f(z)\iint\limits_{{D_z}} d xd y=f(z)s(z) .\]

  • 什么时候用截面法?
  • 被积函数中不含\(x,y\), 用截面法较为简单.

  • 要清楚柱面坐标系的三个参数表示什么

  • 实际上是换元法, 要换全换.

  • 变换公式 \[\begin{equation} \left\{\begin{array}{l} x=r\cos\theta,\\ y=r\sin\theta,\\ z=z. \end{array} \right. \end{equation}\] 体积微元 \[d xd yd z=rd zd rd\theta. \]

  • 被积函数或积分区域涉及到圆的时候选用柱面坐标系简单.

  • \(r,\theta\)是极坐标中的两个参数.

  • 要清楚柱面坐标系的三个参数表示什么

  • 实际上是换元法, 要换全换.

  • 变换公式 \[\begin{equation} \left\{\begin{array}{l} x=r\sin\phi\cos\theta,\\ y=r\sin\phi\sin\theta,\\ z=r\cos\phi. \end{array} \right. \end{equation}\]

体积微元 \[d xd yd z=r^2\sin\phi d r d\theta d \phi. \]

  • 被积函数或积分区域涉及到球和圆锥的时候选用球面坐标系简单.