偏导数

\[ \frac{\partial z}{\partial x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x, y)-f(x,y)}{\Delta x} \]

  • 求偏导数: 运算法则, 定义.
  • 用偏导数: 变化率, 几何意义

1 偏导数是什么

  • 假设\(T=3x^2+2y^2e^{-t}\)表示温度\(T\)随时间\(t\)和位置\(x,y\)的变化规律. 为了简化, 我们需要先研究在同一地方随时间如何变化, 也要研究同一时间不同地点的温度如何变化.

  • 这些想法就是固定其它变量不动, 只让感兴趣的一个变量变化, 研究函数的变化率.

设\(z=f(x,y)\), 则 \[ \frac{\partial z}{\partial x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x, y)-f(x,y)}{\Delta x}. \]

  • 可以用\(\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial x}, z_x, f_x(x,y)\)表示.

  • 偏导数是变化率\(\frac{\Delta_x z}{\Delta x}\)的极限.

  • 偏导数和导数没什么不同, 只是固定其它变量不动, 只让\(x\)变化.

  • 偏导数存在但函数不连续, 如函数\(f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^2+y^2}, & (x,y)≠(0,0); \\ 0, & (x,y)=(0,0).\end{cases}\)

  • 函数连续但偏导数不存在. 如 \(f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\) 在 \((0,0)\)处.

  • \(z=f(x,y)\)表示空间曲面(抛物面).
  • 固定\(y=y_0\)不动, 即 \(\begin{cases}z= f(x,y) \\ y=y_0\end{cases}\) 表示曲面和平面\(y=y_0\)的交线(红色曲线).
  • 偏导数\(f_x(x_0,y_0)\)表示一元函数\(z=f(x,y_0)\)在\(x=x_0\)处的导数.
  • 从几何上看就是交线在点\((x_0,y_0)\)处的切线(黑色)对\(x\)轴正向的斜率.

2 如何求偏导数

  • 一点处的偏导数用定义求.
  • 给出函数的表达式用运算法则求偏导数(导数的运算法则).
  • 复合函数用链式法则.
  • 高阶偏导数是偏导数的偏导数, 再求一次偏导数. 注意记号.

2.1 运算法则

\[\begin{align} z\xrightarrow[]{\ \ \frac{\partial z}{\partial u}\ \ } u\xrightarrow[]{\ \ \frac{\partial u}{\partial x}\ \ }x,\\ z\xrightarrow[]{\ \ \frac{\partial z}{\partial v}\ \ } v\xrightarrow[]{\ \ \frac{\partial v}{\partial x}\ \ }x. \end{align}\]

\[\begin{align} \Delta_x z&=\frac{\partial z}{\partial u}\Delta_x u+ \frac{\partial z}{\partial v}\Delta_x v+o(\rho),\\ \frac{\Delta_x z}{\Delta x}&=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\Delta_x u}{\Delta x}+ \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\Delta_x v}{\Delta x } +o(\frac{\rho}{\Delta x }). \end{align}\]

\[\begin{align} \Delta_x z&=\frac{\partial z}{\partial u}\Delta_x u+ \frac{\partial z}{\partial v}\Delta_x v+o(\rho),\\ \frac{\Delta_x z}{\Delta x}&=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\Delta_x u}{\Delta x}+ \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\Delta_x v}{\Delta x } +o(\frac{\rho}{\Delta x }). \end{align}\]