全微分

\[ d z=\frac{\partial z}{\partial x}d x+\frac{\partial z}{\partial y}d y \]

  • \(\,\ \, \,\) 问题: 求导数与用导数
  • 求导数: 用定义, 用运算法则.
  • 用导数: 几何意义, 微分中值定理, 泰勒公式

1 全微分是什么

设\(z=f(x,y)\), 则全微分

  • \[ d z=\frac{\partial z}{\partial x}d x+\frac{\partial z}{\partial y}d y. \]

2 一点处可微的充要条件

设\(z=f(x,y)\), 则在点\((x,y)\)处可微的充要条件是

\[ \lim_{\rho\rightarrow 0}\frac{\Delta z-(f_x'(x,y)\Delta x+ f_y'(x,y)\Delta y)}{\rho}=0. \]

  • 上式写得更具体一点: \[ \displaystyle\lim_{\Delta x\rightarrow 0 \atop \Delta y\rightarrow 0}\frac{\Delta z-(f_x'(x,y)\Delta x+ f_y'(x,y)\Delta y)}{\sqrt{ \Delta^2 x+ \Delta^2 y}}=0. \]

  • 判断是否可微就看这个极限是否为0.

3 可微与连续, 偏导数存在的关系

对于二元函数 \(z=f(x,y)\) 在点 \((x_0,y_0)\) 处：充分/必要条件梳理

  • 偏导数连续 ⇒ 函数可微（充分非必要）
  • 函数可微 ⇒ 函数连续 + 偏导数存在（必要非充分）
  • 函数连续 ⇏ 偏导数存在，偏导数存在 ⇏ 函数连续（无必然推出关系）

graph TD
    A[偏导数连续] --> B[函数可微]
    B --> C[函数连续]
    B --> D[偏导数存在]
    C -.->|无必然推出关系| D
    D -.->|无必然推出关系| C
    style A fill:#e1f5fe,stroke:#01579b,stroke-width:2px
    style B fill:#f3e5f5,stroke:#4a148c,stroke-width:2px
    style C fill:#e8f5e8,stroke:#1b5e20,stroke-width:2px
    style D fill:#fff3e0,stroke:#e65100,stroke-width:2px

  1. 连续但偏导数不存在. \(f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\)（在 \((0,0)\) 处）
  2. 偏导数存在但函数不连续. \(f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^2+y^2}, & (x,y)≠(0,0) \\ 0, & (x,y)=(0,0)\end{cases}\) 3.函数可微但偏导数不连续. \(f(x,y)=\begin{cases}(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}, &(x,y)≠(0,0) \\ 0, & (x,y)=(0,0)\end{cases}\)

4 可微的应用

  • 如果\(z=f(x,y)\)可微, 则 \[ {\Delta z}= f_x'(x,y)\Delta x+ f_y'(x,y)\Delta y +o(\rho). \]

或者说全微分\(dz\)可以作为函数值的变化量\({\Delta z}\)的近似值: \[ {\Delta z}-dz=o(\rho). \]