含参变量积分

\[\iiint_\limits D f(x,y)dxdy\]

含参变量积分就是函数的一种表示方法.
关键知道含参变量积分的导数.

1 含参变量积分是什么

含参变量积分是函数的一种表示方法.

设二元函数$f(x,y)$在矩形闭区域$I=[a,b]\times [\alpha, \beta]$上连续, 则对固定的$y\in [\alpha, \beta]$, 函数$f(x,y)$对变量$x$在$[a,b]$ 上可积, 称积分 \[ \phi(y)=\int_{a}^{b}f(x,y)dx. \] 为含参变量$y$的积分.

含参变量的广义积分

如果$[a,b]$是无限区间或对固定的$有$, $f(x,y)$在$[a,b]$上是无界函数, 称为含参变量$y$的广义积分.

如$\Gamma$函数 \[ \Gamma(s)=\int_{0}^{\infty}x^{s-1}e^{-x}dx. \] 和 ${\rm{B}}$函数 \[ {\rm B}(p,q)=\int_{0}^{1}x^{p-1}(1-x)^{q-1}dx. \]

含参变量积分就是一种函数, 这种函数有时用起来比较方便, 重点是掌握含参变量积分的分析性质, 如连续性, 可微性, 可积性, 及如何求导, 积分等. 特别是$\Gamma$函数与$\rm{B}$函数的性质.
含参变量积分是函数的一种表示方法.

2 含参变量积分的导数

导数

定理如果函数$f(x,y)$及其偏导数$\frac{\partial f }{\partial y}$都在矩形闭区域$I=[a,b]\times [\alpha, \beta]$上连续, 则含参变量积分 \[ \phi(y)=\int_{a}^{b}f(x,y)dx \] 在$ [, ]$上可微, 且 \[ \frac{d \phi(y)}{d y} =\int_{a}^{b}\frac{\partial }{\partial y}f(x,y)dx. \]

含参变量积分是一个函数, 其导数就是直接对被积函数求偏导数.
此定理说明求导和积分可以交换次序
注意要满足条件.

含参变量积分上限函数的求导公式

定理如果函数$f(x,y)$及其偏导数$\frac{\partial f }{\partial y}$都在矩形闭区域$I=[a,b]\times [\alpha, \beta]$上连续, $a(y), b(y)$可微, 则含参变量积分 \[ \phi(y)=\int_{a(y)}^{b(y)}f(x,y)dx \] 在$ [, ]$上可微, 且 \[ \phi'(y)=\frac{d \phi(y)}{d y} =\int_{a(y)}^{b(y)}\frac{\partial }{\partial y}f(x,y)dx +f(b(y),y)b'(y)-f(a(y),y)a'(y). \]

含参变量积分上限函数的导数分为两部分的和, 一部分是直接对被积函数求偏导数, 另一部分是把上下限代入被积函数并乘上上下限的导数, 这部分是积分上限函数的求导公式.

例

求导数 \[ \int_{x+a}^{x+b}\frac{\sin xy}{y}dy. \]

分析: 直接用求导公式, 注意有两部分.
直接用公式, 两部分.
注意哪个是积分变量, 对哪个变量求导.
代入下限时是减.