\[\displaystyle\lim_{ x\rightarrow x_0 \atop y\rightarrow y_0} f(x,y)=A\]
- 目标: 求极限或证明极限不存在.
- 方法: 等价无穷小代换; 运算法则.
极限的定义
假设\(P=(x,y), P_0=( x_0 , y_0 ).\) \[\displaystyle\lim_{ x\rightarrow x_0 \atop y\rightarrow y_0} f(x,y)=A.\]
\(\forall \varepsilon>0, \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \quad \ {\color{red}先提误差要求}\)
\(\exists\, \delta>0,\) 对任意的\(0<|PP_0|<\delta\) 都有\(\quad\ \ \, {\color{red} 需要在某些条件下}\)
\(|f(x,y)-A|< \varepsilon. \qquad\qquad\qquad\qquad\quad{\color{red}验证都满足误差要求}\)
极限的性质
设 \(\lim f(x) = A\)，\(\lim g(x) = B\)（\(A,B\) 为有限常数）则 \[\begin{align}
&\lim\left[f(x)\pm g(x)\right] = \lim f(x)\pm \lim g(x) = A+B;\\
&\lim\left[f(x)\cdot g(x)\right] = \lim f(x)\cdot\lim g(x) = A\cdot B; \\
&\lim\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim f(x)}{\lim g(x)} = \frac{A}{B}, B\neq 0.
\end{align}\]
注意
求极限
连续函数的极限直接代入.
等价无穷小代换; 四则运算法则; 夹逼准则.
无穷小的运算法则.
极限不存在
- 一般选取两种不同路径, 证明极限不相等, 所以极限不存在.
例子
\[
\lim_{(x,y)\to(1,2)} \frac{x^2y + xy + 1}{x + y}.
\]
\[
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\sin(x^2 + y^2)}{x^2 + y^2}.
\]
由等价无穷小公式: 当 \(u\to0\) 时，\(\sin u \sim u\)。
令 \(u = x^2 + y^2\)，当 \((x,y)\to(0,0)\) 时，\(u\to0\)，因此： \[
\begin{aligned}
&\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\sin(x^2 + y^2)}{x^2 + y^2}
= \lim_{u\to0} \frac{\sin u}{u} \\
&= \lim_{u\to0} \frac{u}{u} = 1.
\end{aligned}
\]
\[
\lim_{(x,y)\to(0,0)} (x+y)\sin\frac{1}{x^2+y^2}.
\]
- 有界性：\(\left|\sin\frac{1}{x^2+y^2}\right| \le 1.\)
- 放缩： \[
0 \le \left|(x+y)\sin\frac{1}{x^2+y^2}\right|
\le |x+y| \le |x| + |y|.
\]
- 取极限： \[
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \left(|x| + |y|\right) = 0.
\] 由夹逼准则得： \[
\lim_{(x,y)\to(0,0)} (x+y)\sin\frac{1}{x^2+y^2} = 0.
\]
证明： \[
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} = 0.
\]
目标：对任意 \(\varepsilon>0\)，找 \(\delta>0\)，使得 \[
0<\sqrt{x^2+y^2}<\delta \implies \left|\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} - 0\right| < \varepsilon.
\]
不等式放缩： \[
|xy| \le \frac{1}{2}(x^2+y^2).
\] 因此： \[
\left|\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}\right|
\le \frac{1}{2}\cdot\frac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}
= \frac{1}{2}\sqrt{x^2+y^2}.
\]
取 \(\delta = 2\varepsilon\)，则： \[
\frac{1}{2}\sqrt{x^2+y^2} < \frac{1}{2}\delta = \varepsilon.
\] 满足定义，证毕。
对任意 \(\varepsilon>0\)，因为\[
\left|\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}\right|
\le \frac{1}{2}\cdot\frac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}
= \frac{1}{2}\sqrt{x^2+y^2}.
\] 要使\[
\left|\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} - 0\right| < \varepsilon.
\]
只要\[
\frac{1}{2}\sqrt{x^2+y^2} < \varepsilon.
\] 取\(\delta = 2\varepsilon\) 即可.
\[
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{x^2 + y^2}.
\]
- 沿 \(x\) 轴（\(y=0\)）： \[
\lim_{x\to0} \frac{0}{x^2} = 0.
\]
- 沿直线 \(y=x\)： \[
\lim_{x\to0} \frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2}.
\]
两条路径极限不同，故极限不存在。