常微分方程

\[y'=\frac{dy}{dx}=f(x,y)\]

  • 掌握微分方程的分类, 每一类有专门的解法.

1 微分方程

  • 一是解方程, 这是主要内容, 二是列方程. 再求解.

  • 第一步要知道解的有关概念. 什么是解? 什么是通解? 什么是特解?

  • 所谓解, 就是代入原方程等式要成立. 通解就是解的表达式中含有任意常数, 并且任意常数的个数等于方程的阶数.

  • 特解就是一个特殊的解, 不含任意常数.

  • 对于线性微分方程来说, 又有一些简单的地方.

    1. 线性微分方程的解有两个地方要注意(以二阶为例). 一是解的结构,非齐次的通解等于齐次的通解加上非齐次的特解. 二是注意解的叠加原理.

    2. 解的结构告诉我们求解通解时只需求出齐次的通解, 再求出非齐次的一个特解即可.

    3. 叠加原理告诉我们求特解时可以把一个复杂的非齐次方程化成几个简单的非齐次方程, 分别求解后再相加.

  • 每一类微分方程都有自己固定的解法, 所以解方程的步骤就是先把方程分类, 再用固定的办法解决问题.

2 可分离变量的就分离变量

  • 这种方程的特点是\(x\)和\(y\)没有关系, 可以写成两个独立的 函数的乘积 \[ y'=\frac{dy}{dx}=f(x)g(y) \]
  • 对于这种方程, 变量能够分开, 分离变量,两端积分即可.

3 齐次方程做变量代换

  • 齐次方程有相同的次数. \[ P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0. \]

  • 如果\(P(x,y)\)和\(Q(x,y)\)的每一项都有相同的次数, 则此方程为齐次方程. 有形式 \[ y'=f(\frac{y}{x}). \]

  • 把它们看成一个整体,令\(u=\frac{y}{x}.\) 代入原方程化成可分离变量的方程.

  • 有些不是齐次的方程,经过一些变化也能变成齐次的, 请参考 书上例子.

4 一阶线性方程有固定公式

  • 一阶是说导数只出现一阶导数, 线性是说\(y',y\)的次数是一次的. 注意 此时我们不考虑\(x\)的次数. 形式为 \[ y'+P(x)y=Q(x). \]

  • 对于这类方程, 就用公式, 如果记不住, 就一步步来.

  • 先用变量分离法求齐次的通解(知道为什么吗?解的结构), 非齐次的特解用常数变易法去求.

  • 贝努利方程可以化成一阶线性的. \[ y'+P(x)y=Q(x)y^n. \] 如何化? 和线性的比较 \[ y^{-n}y'+P(x)y^{1-n}=Q(x). \] 让 \[ u=y^{1-n}. \]

5 可降阶的二阶微分方程

为什么能降阶?

  • 二阶方程缺少某些变量,我们总用变量代换 \(y'=P.\)

  • 如果缺\(y\), 代入有 \[y''=\frac{dP}{dx}=P'.\]

  • 如果缺\(x,\)代入有 \[y''=\frac{dP}{dx}=\frac{dP}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=PP'.\]

6 二阶常系数微分方程

  • 常系数微分方程, 一个根对应一个解.
  • 根是特征方程的根.
  • 按如下规则. 一个实根\(r\)给出一个解\(e^{rx}.\) 如果再给一个实根(重根),为了避免和上面的重复, 在函数前面乘上个\(x,\) 对应\(xe^{rx}.\)如果再重复,就再乘. 一个复根\(a+bi\)对应一个函数 \(e^{ax}\cos bx.\) 另外一个复根\(a-bi\)对应函数\(e^{ax}\sin bx.\) 重复的如上修订即可.
  • 根据非齐次的解的结构, 只要找出一个特解,再组合组合即可.
  • 找特解的方法是用待定系数法. 所以关键是会写出特解的形式. \[ y''+3y'+2y=xe^{x} \]
  • 观察上面的方程, 左边是导数的组合, 右边是指数函数, 一个函数 求导数之后再组合在一起, 会出现\(xe^{x},\)猜出原来的函数之中会有\(e^{x}.\) 但是还有\(x\),所以找个次数 最低的,特解就可能是\((Ax+B)e^{x}\)的形式. 当然根据是不是重根 前面要乘个\(x\)的幂.

  • 当方程是下面的形式 \[ y''+3y'+2y=x\sin x \] 那么特解是\((Ax+B)\sin{x}\)的形式.

  • 如果代入方程你求不出系数, 说明要考虑余弦函数. 所以完整的特解形式为 \[(Ax+B)\sin{x}+(Cx+D)\cos{x}.\]

7 应用题

  • 解决应用题的办法就是设出函数, 找等式.

  • 先要根据定理, 条件列出等式. 这个 等式一开始可以是语言叙述. 再慢慢的化成数学语言, 数学式子.

  • 比如链条滑落的问题. 这是物体的运动,那么满足牛顿的运动定律. 我们可以把链条看成一个整体, 讨论它的质心的运动. 等式就是

  • 力=质量乘加速度

  • 链条的重力分成两部分,长的那一部分用来加速, 短的那部分是阻力. 建立坐标轴. 设向下为正方向, 滑轮处为原点,在\(t\)时刻\(x\)表示链条下端 距滑轮的距离,密度为\(\rho\),有 \[ 12\rho-(12-x)\rho=F=12\rho a=12\rho \frac{d^2x}{dt^2}. \] 考虑阻力即得 \[ 12\rho-(12-x)\rho-\rho=F=12\rho\frac{d^2x}{dt^2}. \]

8 总结

  • 方程最有用的就是一些概念, 解的结构,它指引我们往那里努力.
  • 解决的方法就是变量代换, 把一个方程用变量代换变成简单的, 会求的方程.
  • 有时还有一些猜测,合理的猜测非常重要.
  • 能想到特解的形式最为关键, 后面的代入决定系数是按部就班的计算.
  • 另外就是常数变易法. 把齐次的解, 变成了非齐次的解.