曲线积分
\[\int_L f(x,y) d s, \int_l P(x,y)d x+ Q(x,y)d y\]
- 对弧长的曲线积分的例子是曲线的质量.
- 对坐标的曲线积分的例子是变力做的功.
- 两类曲线积分都按照固定步骤化为定积分计算.
说明: 本部分内容要先熟悉曲线方程及切向量
1 对弧长的曲线积分
假设曲线\(\Gamma\), 其线密度是\(f(x,y,z)\), 则质量\(M\)可以这样得到.
假设曲线\(\Gamma\)的参数方程 \[\begin{equation} \left\{\begin{array}{l} x=\varphi(t)\\ y=\psi(t) \end{array} \right.,\quad \alpha\leq t\leq\beta. \end{equation}\]
则 \[ \int_\Gamma f(x,y)d s=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t),\psi(t))\sqrt{\varphi'^2(t)+\psi'^2(t)}\, d t. \]
- 积分下限\(\alpha\)要小于积分上限\(\beta\).
- 若曲线方程是\(y=f(x)\)可类似得到.
- 空间曲线同样化为定积分.
- 被积函数是1时曲线积分则表示弧长.
- 用对称性可简化计算.
- 曲线的弧长微分公式可由微分三角形得到.
- 根据被积函数和区域, 需要选择合适的坐标轴投影.
- 有时需要把区域分成几个部分, 分别计算.
- 不同次序计算的复杂度可能不同.
2 对坐标的曲线积分
假设有向曲线\(\Gamma\), 变力是\(F=P(x,y)\vec i +Q(x,y)\vec j=(P(x,y), Q(x,y))\), 则功\(W\)可以这样得到.
\(W=\vec F \cdot \vec S.\)
\(d W=(P, Q) \cdot d\vec s=Pd x+Qd y.\)
假设曲线\(\Gamma\)的参数方程 \[\begin{equation} \left\{\begin{array}{l} x=\varphi(t),\\ y=\psi(t) , \end{array} \right. \end{equation}\]
要求: 参数单调+ { \(\alpha\)对应曲线的起点 + \(\beta\)对应曲线的终点
则曲线积分化为 \[\int_\Gamma P(x,y)d x+ Q(x,y)d y=\int_\alpha^\beta P(\varphi(t),\psi(t))\varphi'(t)d t+ Q(\varphi(t),\psi(t))\psi'(t)d t. \]
积分下限\(\alpha\)要对应曲线的起点.
若曲线由方程\(y=f(x)\)可类似得到.
空间曲线同样化为定积分.
不要直接用对称性, 先化为定积分再用对称性.
3 向量法表示与两种积分的关系
假设曲线\(\Gamma\)的参数方程 \[\begin{equation} \left\{\begin{array}{l} x=\varphi(t),\\ y=\psi(t) , \end{array} \right. \end{equation}\] 则 \[ (\varphi', \psi'),\quad (d x, dy)=(\varphi', \psi')d t, \quad (\cos\alpha, \cos\beta) \] 都是切向量.
设单位切向量 \[ \vec{t}=(\frac{\varphi'}{\sqrt{\varphi'^2(t)+\psi'^2(t)}}, \frac{\psi'} {\sqrt{\varphi'^2(t)+\psi'^2(t)}})=(\cos\alpha, \cos\beta),\quad (d x, dy)=(\varphi', \psi')d t. \]
则有 \[ (d x, dy)=\vec{t}\,d s=(\cos\alpha, \cos\beta)d s=(\cos\alpha d s, \cos\beta d s). \]
这是以直代曲, 弧长用切线长代替.
把弧微分向量化, 写成向量, 既有大小, 又加上方向.
单位切向量有两个, 要选择和曲线运动方向一致的那个.
\(d s\)是弧微分(斜边), \((d x, dy)\)则是弧微分那个向量(斜边).
设\(\vec{A}=(P(x,y), Q(x,y).\) 则有\(Pd x+ Qd y= (P, Q)\cdot (d x,d y),\)
\[\int_\Gamma Pd x+ Qd y=\int_\Gamma \vec{A}\cdot \vec{t}\,d s=\int_\Gamma (P\cos\alpha+Q\cos\beta)\,d s.\]