曲面方程及切平面

\[ F(x,y,z)=0 \]

  • \(F(x,y,z)=0\)表示一张曲面.
  • 切平面的法向量\(\vec{n}=(F_x, F_y, F_z),\) 由偏导数给出.
  • 面积微元\(d S\)与\(xoy\)上的面积微元\(d xd y\)满足关系\[dS=\displaystyle\frac{|F_z|}{\sqrt{F_x^2+F_y^2+ F_z^2}}d xd y=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}d xd y.\]

1 曲面的方程

满足三元函数 \(F(x,y,z)=0\)的所有点\((x, y, z)\)的集合称为由方程确定的曲面.

  • 一般要求\(F(x,y,z)\)是连续的, 甚至加上3个偏导数\(\frac{\partial F}{\partial x},\) \(\frac{\partial F}{\partial y},\) \(\frac{\partial F}{\partial z}\) 也都连续的条件.

  • 例子. 球心在原点的球面, 由(隐式)方程给出 \[{x^2+y^2+z^2-a^2=0}.\]

设\(P(x, y, z)\)是曲面上的一点, 则曲面上过点\((x, y, z)\)的所有曲线, 在此点处的切线都在同一个平面上, 这个平面称为点\((x, y, z)\)处的切平面.

切平面的法向量为 \[ \vec{n}=(F_x, F_y, F_z), \] 则切平面方程为 \[ F_x(x_0, y_0, z_0)(x-x_0)+ F_y(x_0, y_0, z_0)(y-y_0)+ F_z(x_0, y_0, z_0)(z-z_0)=0. \]

\(\bullet\) 曲面如果由显式函数\(z=f(x,y)\)给出. 令\(F(x,y,z)=z-f(x,y)\). 则法向量为 \[ (-z_x, -z_y, 1)=(-f_x, -f_y, 1). \]

  • 一点处有两个方向相反的单位法向量, 指向封闭曲面内部的称为内法向量.

  • 例子. 球面\({x^2+y^2+z^2-1=0}\) 在点\((0,0,1)\)处的内法向量是\((0,0,-1),\) 外法向量是\((0,0,1).\)

2 面积微元与面积

  • 局部上, 把面积微元\(d S\)看成切平面的一部分(以直代曲).

  • \(d S\)投影到坐标平面\(xoy\), 满足关系 \[|\cos\gamma|d S=d xd y,\] \(\gamma\) 是切平面与\(xoy\)面的夹角, 也就是两个法向量\(\vec{n}=(F_x, F_y, F_z), (0,0,1)\)的夹角.

  • 面积微元\(d S\)与面积微元\(dxdy\)满足关系\[dS=\displaystyle\frac{|F_z|}{\sqrt{F_x^2+F_y^2+ F_z^2}}d xdy.\]

  • 如果曲面方程是\(z=z(x,y)\), 则\[d S=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}d xd y.\]

  • 曲面面积就是把所有面积微元加起来, 即积分 \[ \iint\limits_\Sigma d S. \]

3 特殊情形

连续函数 \[z=f(x,y),\ (x,y)\in D\] 给出了曲面\(\Sigma\)的显式方程.

  • 例. 球心在原点的上半球面, 有显式方程 \[z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}, \ (x,y)\in D,\] 其中\(D=\{(x, y)\mid x^2+y^2\leq a^2\}.\)

只有两个变量的方程表示柱面, 如\(x^2+y^2=1.\)

假设\(zoy\)面上有条曲线\(f(y , z)=0,\) 此曲线绕\(z\)轴旋转一周, 曲线扫出一张平面, 称为旋转曲面.

曲面上的点\((x, y, z)\) 应该是曲线上的点\((0, \pm\sqrt{x^2+y^2}, z)\) 旋转而成, 所以曲面方程为 \[f(\pm\sqrt{x^2+y^2}, z)=0.\]

  • 例子. \(x^2+y^2=z^2\)是圆锥面(上下两部分), \(z=\sqrt{x^2+y^2}\)则是上面的圆锥面. \(x^2+y^2=a^2\)是柱面.