格林公式
\[\int_\Gamma Pd x+ Qd y =\iint\limits_{{D}}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)d xd y\]
- 格林公式建立了二重积分与曲线积分的联系.
- 可以用二重积分简化曲线积分的计算.
- 要先验证满足格林公式的条件.
1 格林公式是什么?
\[\displaystyle\int_\Gamma Pd x+ Qd y=\iint\limits_{{D}}\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}d xd y. \]
使用格林公式前一定要先验证下面的条件!!! - \(D\)是封闭区域. - \(\Gamma\)是\(D\)的边界, 且是正向. - \(\frac{\partial Q}{\partial x},\frac{\partial P}{\partial y}\)在\(D\)上连续.
2 格林公式怎么用?
- 验证条件, 如成立, 则曲线积分的计算化为一个简单的二重积分的计算.
区域\(D\)的面积直接用二重积分不好计算, 比如椭圆的面积. 此时把面积变成一个曲线积分, 再计算. \[D\mbox{ 的面积 }=\iint\limits_{{D}}d xd y= \frac{1}{2}\displaystyle\int_\Gamma xd y- yd x.\]
- 解决方法: 补充曲线, 使其封闭, 在封闭区域上再用格林公式. \[\int_\Gamma Pd x+ Qd y= \int_{\Gamma+l} Pd x+ Qd y- \int_{l}Pd x+ Qd y\]
\[=\iint\limits_{{D}}\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}d xd y-\int_{l}Pd x+ Qd y.\]
- 原曲线积分化为一个简单的二重积分和另一个简单的曲线积分.
解决方法: 用合适的小区域(一般为圆) 挖去此点.
\(\Gamma\)围成的是\(D\), \(l\)围成的是\(D'\), \(\Gamma+l\) 围成的是\(D-D'\), 此时区域\(D-D'\)变为多连通区域, 在此多连通区域上再用格林公式.
\[\int_\Gamma Pd x+ Qd y= \int_{\Gamma+l} Pd x+ Qd y- \int_{l}Pd x+ Qd y\] \[=\iint\limits_{{D-D'}}\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}d xd y-\int_{l} Pd x+ Qd y.\]
