高斯公式

\[\iint\limits_{\Sigma} Pd yd z+ Qd z d x+ Rd x d y=\iiint\limits_{\Omega} (\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dxdyd z\]

  • 建立了曲面积分和三重积分的关系.
  • 使用时要先验证条件.
  • 不满足条件时要创造条件再使用公式.

1 高斯公式是什么?

\[\iint\limits_{\Sigma} Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\iiint\limits_{\Omega}(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dxdydz.\]

  • 描述第二型曲面积分和三重积分的关系.

2 高斯公式成立的条件?

使用高斯公式前一定要先验证下面的条件!!! 条件不满足不能直接用.

  • \(\Omega\)是有界封闭区域.
  • \(\Sigma\)是\(\Omega\)的边界曲面的外侧(法向量指向外侧).
  • \(\frac{\partial P}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial y}, \frac{\partial R}{\partial z}\)在\(\Omega\)上连续.

3 高斯公式怎么用?

计算曲面积分.

  • 验证条件, 如成立, 则曲面积分的计算化为一个三重积分的计算.

曲面不封闭时.

  • 解决方法: 补充曲面, 使其封闭, 在封闭区域上再用高斯公式.

  • \[\displaystyle\iint\limits_{{\Sigma}} Pd yd z+ Qd z d x+ Rd x d y= \displaystyle\iint\limits_{{\Sigma+\Sigma_1}} Pd yd z+ Qd z d x+ Rd x d y -\displaystyle\iint\limits_{{\Sigma_1}} Pd yd z+ Qd z d x+ Rd x d y \] \[= \displaystyle\iiint\limits_{{\Omega}} (\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})d xd yd z-\displaystyle\iint\limits_{{\Sigma_1}} Pd yd z+ Qd z d x+ Rd x d y.\]

  • 原曲面积分化为一个三重积分减去另一个相对简单的曲面积分.