二重积分

\[\iint_\limits D f(x,y)dxdy\]

  • 例子: 平面薄片的质量和曲顶柱体的体积.
  • 计算: 按照固定步骤化为累次积分.
  • 简化: 有时选用极坐标或广义极坐标计算会比较简单.

1 二重积分是什么

假设平面区域\(D\), 其面密度是\(f(x,y)\), 则质量\(M\)可以这样得到.

2 二重积分的计算

  • 化为累次积分: 计算两次定积分.

  • 根据被积函数和区域, 需要选择合适的坐标轴投影.
  • 有时需要把区域分成几个部分, 分别计算.
  • 不同次序计算的复杂度可能不同.

  • 第一步化为极坐标的二重积分, 第二步化为累次积分.
  • 熟练时第一步可以省略.
  • 有时需要把区域分成几个部分, 分别计算.
  • 要掌握用描点法得到极坐标方程表示的图形的草图.

积分区域 \(D:\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}\leq 1, a,b>0.\)

坐标变换: \(\displaystyle x=ar\cos\theta, y=br\sin\theta\) \[ \displaystyle\iint\limits_{{\color{blue} D}}\color{red}f(x,y)\, \underline{{ d x d y}}= \int_{\alpha}^{\beta}d \theta\int_{r_1(x)}^{r_2(x)} {\color{red} f(r\cos\theta, r\sin\theta )}\, \underline{\color{red} {abr d r}}.\]

  • 被积函数或积分区域含有\(x^2+y^2\)时, 即和圆有关时计算方便.

  • \(\displaystyle\frac{\partial (x, y)}{\partial (u,v)}\cdot \frac{\partial (u, v)}{\partial (x,y)}=1\), 两者互为倒数
  • 积分区域先化为\(x,y\)的等式或不等式的表达方式, 再代入即可得新的积分区域\(D'\).
  • 要根据被积函数和积分区域选择合适的变量代换, 使得计算简单

例如: 如果变量代换是 \[\begin{equation} \left\{\begin{array}{l} x+y=u,\\ x=v. \end{array} \right. \end{equation}\]

  • 原积分区域是 \[ D:\quad 0\leq y\leq 1, y\leq x\leq 2-y \] 则解出$ y=u-v, x=v\(, 代入, 那么新积分区域是\)$ D’:u-v, u-vv-(u-v) \[ 即由4条直线围成的区域 \] 0u-v,  u-v,  u-vv,  v-(u-v). $$