初等函数
\[基本初等函数最为简单. 而复杂函数大多由简单函数构造\]
- 基本初等函数, 包括幂函数, 指数函数, 对数函数, 三角函数以及反三角函数.
- 初等函数是用基本初等函数组合, 构造的.
- 这些函数是基础, 也是主要的研究对象. 它们的性质, 图像要牢记在心.
1 幂函数
- 大于1的数越乘越大, 小于1的数越乘越小.
- 不同.
- 不同.
2 指数函数
- 底不同, 图像不同.
3 对数函数
- 底不同, 图像不同.
4 三角函数
- 三角函数是周期函数.
- 三角函数与圆有关.
- \(\sin x\)是奇函数, \(\cos x\)是偶函数.
4.1 正弦函数\(\sin x\)和余弦函数\(\cos x\)
- 如图, 单位圆上的点\(P\), \(OP\)与\(x\)轴的夹角是\(\theta\), 则\(OP\)在\(x\)轴上的投影等于\(\cos\theta\), 在\(y\)轴上的投影等于\(\sin\theta\).
- 夹角\(\theta\)的单位是弧度, 取值范围为任意实数.
- 根据勾股定理 \[\sin^2 x+\cos^2 x=1.\]
- 根据直角三角形两个锐角互余, 得到 \[\sin(\frac{\pi}{2}-x)=\cos x,\ \cos(\frac{\pi}{2}-x)=\sin x.\]
- 关于余弦函数的公式可以变为正弦函数记忆.
- 由定义, 夹角转一圈后, 点就重复了, 一圈为\(2\pi\).
- 在圆上的点\(P\)从\(x\)轴\((0,1)\)出发逆时针运动的过程中, \(\sin x\), 即在\(y\)轴上的投影, 从0增加到1, 再从1减少到-1, 最后从-1又增加到0.
4.2 正切函数\(\tan x\)和余切函数\(\cot x\)
- \[\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}, \ \cot x=\frac{\cos x}{\sin x}.\]
- 图形上看, \(\tan \theta\)等于在直线\(x=1\)上的投影.
- 在一个定义区间内, 在\(x=1\)上的投影随角度增加而增加.
4.3 正割函数\(\sec x\)和余割函数\(\csc x\)
- \[\sec x=\frac{1}{\cos x}, \ \csc x=\frac{1}{\sin x}.\]
- 函数值为1的点不动, 小于1的变为大于1的, 递增变递减, 越来越靠近0变成越来越大.
4.4 三角函数公式
\[\begin{aligned} \sin^2 x+\cos^2 x&=1,\\ 1+\tan^2 x&=\sec^2,\\ 1+\cot^2 x&=\csc^2. \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \sin(x\pm y)&=\sin x\cos y\pm \cos x\sin y,\\ \cos(x\pm y)&=\sin x\sin y\pm \cos x\cos y,\\ \tan(x\pm y)&=\frac{\tan x\pm\tan y}{1\mp \tan x\tan y}. \end{aligned}\]
如何记住?把下面的推导过程写一遍
- 只需记住第一个公式, 第二个可由\(\cos x=\sin(\frac{\pi}{2}-x)\)推出来.
- 第三个不需记, 需要时可由前两个推出来.
\[\begin{aligned} \sin 2x&=2\sin x\cos x,\\ \cos 2x&=2\cos^2 x-1\\ &=1-2\sin^2 x\\ &=\cos^2 x-\sin^2 x. \end{aligned}\]
- 是加法公式的特殊情形.
\[\begin{aligned} \sin^2 \frac{x}{2}&=\frac{1-\cos x}{2},\\ \cos^2 \frac{x}{2}&=\frac{1+\cos x}{2}. \end{aligned}\]
- 注意, 如果开根号, 要根据\(x\)的范围取正还是负.
\[\begin{aligned} \cos x\cos y&=\frac{1}{2}[\cos (x+y)+\cos (x-y)],\\ \cos x\sin y&=\frac{1}{2}[\sin (x+y)-\sin (x-y)],\\ \sin x\sin y&=-\frac{1}{2}[\cos (x+y)-\cos (x-y)],\\ \sin x\cos y&=\frac{1}{2}[\sin (x+y)+\sin (x-y)],\\ \end{aligned}\]
记忆方法
- 只需记住一个容易记的, 另外的用公式推导出来, 尝试一下.
- 记一个的时候, 先记住大概样子, 再代入特殊值得到准确形式.
\[\begin{aligned} \cos x+\cos y&=2\cos \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2},\\ \cos x-\cos y&=-2\sin \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2},\\ \sin x +\sin y&=2\sin \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2},\\ \sin x -\sin y&=2\cos \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2}. \end{aligned}\]
记忆方法
- 只需记住一个, 另外的用公式推导出来, 尝试一下.
- 记一个的时候, 先记住大概样子, 再代入特殊值得到准确形式.
5 反三角函数
- 性质, 图像.
6 初等函数是什么
- 先研究清楚熟悉, 常用的.
- 先研究清楚简单的.
- 化繁为简.
- 基本初等函数就是最为简单, 常用的函数. 然后再根据需要逐步扩展.