能力训练: 用定义证明极限

\[\forall\varepsilon>0, \exists N>0, 当n>N 时都有 |a_n-A|< \varepsilon.\]

目标: 通过用定义证明极限, 专门训练逻辑推理能力, 抽象思维能力以及论述的严密性和语言组织能力.
策略: 例子由易到难, 逐步推进.
方法: 仔细琢磨, 模仿, 书写.

1 用定义证明极限的关键

逻辑步骤

\[\lim_{n \rightarrow \infty} a_n=A.\]

第一步, 先要任给一个误差\(\varepsilon>0.\)
第二步, 我们要找到一个正整数\(N>0.\)
第三步, 我们要验证或说明满足一开始给的误差要求: 对任意的\(n>N\) 都有 \(|a_n-A|< \varepsilon.\)

关键

要找到正整数\(N>0.\) 一般反过来, 假设误差满足, 解出\(N\)要满足什么条件, 然后解出来.
因为是反过来找的\(N\), 所以就满足误差要求.

2 例子

例证明\(\displaystyle\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n}=0.\)

分析

目标是找到满足\(|\frac{1}{n}-0|< \varepsilon\)的 \(N\),
解这个不等式得, \(n>\frac{1}{\varepsilon}\)就可以.
注意\(N\)为正整数, 取整\(N=\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]\),
书写时要注意语言通顺.

答案

\(\forall \varepsilon>0,\) 要使 \(|\frac{1}{n}-0|< \varepsilon\), 只要 \(n>\frac{1}{\varepsilon}.\)

取 \(N=\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]\), 当\(n>N\) 时都有\(|\frac{1}{n}-0|< \varepsilon\),

所以 \(\displaystyle\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n}=0.\)

为什么不用下面的证明

\(\forall \varepsilon>0,\) 取 \(N=\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]\), 当\(n>N\) 时, 都有\(n>\left[\frac{1}{\varepsilon}\right],\) 所以 \(n>\frac{1}{\varepsilon}.\) 即 \(|\frac{1}{n}-0|< \varepsilon\), 所以 \(\displaystyle\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n}=0.\)

这个证明也是对的.
不这样证明的原因是, 一开始就取\(N=\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]\), 为什么这样取, 不知道原因.

例证明\(\displaystyle\lim_{n\to \infty} \frac{n-1}{3n+2}=\frac{1}{3}.\)

分析

目标是找到满足\(|\frac{n-1}{3n+2}-\frac{1}{3}|< \varepsilon\)的\(N\),
解这个不等式, 先化简 \[\left|\frac{n-1}{3n+2}-\frac{1}{3}\right|=\left|\frac{5}{3(3n+2)}\right|< \varepsilon.\]
因为这个不等式较为复杂, 而我们只需要这个不等式成立就行, 所以进行放大,化简 \[\left|\frac{5}{3(3n+2)}\right|<\frac{5}{n}.\]
这样, 当\(\frac{5}{n}< \varepsilon\)时, 就有 \[\left|\frac{5}{3(3n+2)}\right|<\frac{5}{n}< \varepsilon.\]
解得, \(n>\frac{5}{\varepsilon}\)就可以.
以下做法和上一题相同.
注意\(N\)为正整数, 取整\(N=\left[\frac{5}{\varepsilon}\right]\),
书写时要注意逻辑通顺 先说化简和放大, 再说取\(N\).

答案

\(\forall \varepsilon>0,\) 因为 \[\left|\frac{n-1}{3n+2}-\frac{1}{3}\right|=\left|\frac{5}{3(3n+2)}\right|< \frac{5}{n}.\]

要使 \(|\frac{n-1}{3n+2}-\frac{1}{3}|< \varepsilon\), 只要 \(\frac{5}{n}< \varepsilon\), 即\(n>\frac{5}{\varepsilon}\) 成立即可.

取 \(N=\left[\frac{5}{\varepsilon}\right]\), 当\(n>N\) 时都有\[\left|\frac{n-1}{3n+2}-\frac{1}{3}\right|=\left|\frac{5}{3(3n+2)}\right|<\frac{5}{n}< \varepsilon.\]

所以 \(\displaystyle\lim_{n\to \infty} \frac{n-1}{3n+2}=\frac{1}{3}.\)

下面的证明错在哪里?

\(\forall \varepsilon>0,\) 要使 \[\left|\frac{n-1}{3n+2}-\frac{1}{3}\right|=\left|\frac{5}{3(3n+2)}\right|< \frac{5}{n}< \varepsilon.\]

只要\(n>\frac{5}{\varepsilon}\). 取 \(N=\left[\frac{5}{\varepsilon}\right]\), 当\(n>N\) 时都有\[\left|\frac{5}{3(3n+2)}\right|<\frac{5}{n}< \varepsilon.\]

所以 \(\displaystyle\lim_{n\to \infty} \frac{n-1}{3n+2}=\frac{1}{3}.\)

这个证明也是对的.
不这样证明的原因是, 一开始就取\(N=\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]\), 为什么这样取, 不知道原因.

错误

要使 \(\left|\frac{n-1}{3n+2}-\frac{1}{3}\right|=\left|\frac{5}{3(3n+2)}\right|< \frac{5}{n}< \varepsilon.\)

要使二字说明我们有目标, 但上面的式子有等号和两个不等号, 到底要使哪一个成立?
目标不明确.